Repetytorium maturzysty - matematyka

361 GRANICA fUNKCjI Granicę, gdy x dąży do ∞ lub – ∞ , obliczamy podobnie jak granicę ciągu. W funkcji wielomianowej wyłączamy najwyższą potęgę x przed nawias, a w funkcji wymiernej w liczniku i mianowniku naj- wyższą potęgę x z mianownika. z a d an i e 1 Oblicz granice: a) lim x x →− 1 3 3 b) lim x x x x x → − + + + 0 2 2 5 4 6 2 RO zW i Ą z an i e Ad a) lim ( ) x x →− = − = − 1 3 3 3 3 1 3 ⋅ Ad b) lim x x x x x → − + + + = − + + + = = 0 3 2 3 2 5 4 6 2 0 5 0 4 0 6 0 2 4 2 2 ⋅ ⋅ z a d an i e 2 Oblicz granice: a) lim x x x x → − + − 1 2 2 2 1 1 b) lim x x x x x → − − + − 2 3 3 3 2 10 RO zW i Ą z an i e Ad a) lim x x x x → − + − = − + −       =     1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 ⋅ D: x 2 – 1 ≠ 0 ( x + 1)( x – 1) ≠ 0 x ≠ –1 x ≠ 1 D = R \ {–1, 1} lim ( ) ( ) lim x x x x x x x → → − + ( ) − = − + = − + = = 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 Ad b) lim x x x x x → − − + − = − − + −       =     2 3 3 3 3 3 2 10 2 3 2 2 2 2 10 0 0 ⋅ D: x 3 + x – 10 ≠ 0 x ≠ 2 x 2 + 2 x + 5 ( x 3 + x – 10) : ( x – 2) – x 3 + 2 x 2 2 x 2 + x – 10 – 2 x 2 + 4 x 5 x – 10 – 5 x + 10 = = x 2 + 2 x + 5 ≠ 0 ∆ = 4 – 4 ∙ 1 ∙ 5 = 4 – 20 = –16 To wyrażenie jest zawsze dodatnie. D = R \ {2} x 3 + x – 10 = ( x – 2)( x 2 + 2 x + 5) x 3 – 3 x – 2 = x 3 – x – 2 x – 2 = x ( x 2 – 1) – 2 ( x + 1) = = x ( x + 1)( x – 1) – 2 ( x + 1) = ( x + 1)[ x ( x – 1) – 2] = = ( x + 1)( x 2 – x – 2) ∆ = (– 1) 2 – 4 ∙ 1 ∙ (– 2) = 1 + 8 = 9 ∆ = = − = − = + = = 3 1 3 2 1 1 3 2 4 2 2 1 2 x x x 3 – 3 x – 2 = ( x + 1)( x + 1)( x – 2)  Są to przykłady, w których granica funk- cji w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie: lim ( ) x x f x f x → ( ) = o o  Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony, co oznacza, że funkcję można przekształcić. Określamy dziedzinę funkcji. Określamy dziedzinę. Trzeba rozłożyć wielomian na czynniki, wiemy, że miej- scem zerowym jest 2. Postać iloczynowa mianownika. Rozkładamy na czynniki licznik. Licznik ułamka został rozłożony na czyn- niki.