Vademecum matura - matematyka

FUNKCJA KWADRATOWA, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE – poziom podstawowy 72 – jeżeli ∆ > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): x b a x b a 1 2 2 2 = − − = − + ∆ ∆ . Jeśli ∆ ≥ 0, to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej: f ( x ) = a ( x – x 1 )( x – x 2 ) Aby narysować wykres funkcji kwadratowej, obliczamy charakterystyczne punkty: wierzchołek, miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią OY . Określając własności, wyznaczamy dziedzinę i zbiór wartości. Obliczamy miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią rzędnych. Określamy, dla jakich argumentów funkcja jest rosnąca, dla jakich malejąca oraz wartość największą lub najmniejszą. Podajemy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne, oraz równanie osi symetrii paraboli. Z A D AN I E 1 Narysuj wykres i określ własności: a) f ( x ) = x 2 − 7 x + 12 b) f ( x ) = – x 2 + 10 x – 25 c) f ( x ) = − x 2 − 5 x − 7 Ro zw i ą z an i e Ad a) f ( x ) = x 2 – 7 x + 12  a = 1, b = – 7, c = 12 Wyróżnik funkcji kwadratowej: ∆ = b 2 – 4 ac = (–7) 2 – 4 ∙ 1 ∙ 12 = 49 – 48 = 1. ∆ = 1 Miejsca zerowe: x b a 1 2 7 1 2 1 6 2 3 = − − = − ⋅ = = ∆ x b a 2 2 7 1 2 1 8 2 4 = − + = + ⋅ = = ∆ Wierzchołek: p x x q a = + = + = = = − = − ⋅ = − = − = − 1 2 2 3 4 2 7 2 3 5 4 1 4 1 1 4 1 4 3 5 1 , , ; ∆ W 4       Pierwszą współrzędną wierzchołka możemy obliczyć ze wzoru p b a = − 2 lub jeśli znamy miejsca zero- we, to pierwsza współrzędna leży na środku między miejscami zerowymi, czyli p x x = + 1 2 2 . Drugą współrzędną wierzchołka obliczamy ze wzoru q a = −∆ 4 lub obliczamy f ( p ). Punkt przecięcia z osią rzędnych: Jest to punkt o współrzędnych (0, c ) – (0, 12), c = 12, zatem punkt ma wspłórzędne (0, 12). Gdy obliczymy charakterystyczne punkty, wykonujemy wykres funkcji. x 1 = 3, x 2 = 4 W = 3 5 1 4 , ; −       (0, 12) Pewniak na teście  Należy obliczyć wyróżnik trójmianu kwadra- towego (deltę) i od znaku tej liczby uzależnić dalsze postępowanie.