Vademecum matura - matematyka

WIELOMIANY – poziom rozszerzony 280 Ro zw i ą z an i e Ad a) W ( ) ( ) ( ) ( ) − = ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − − = = − − + − = − 2 2 2 2 2 9 2 1 16 8 18 1 7 3 2 Odpowiedź: Liczba a nie jest pierwiastkiem wielomianu. Ad b) G (1) = 1 11 + 1 10 + 1 6 + 1 − 4 = 0 Odpowiedź: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu. Z a d an i e 7 Podziel wielomian W ( x ) = x 8 + x 7 − 2 x 5 + x 4 − x 3 + 1 przez dwumian D ( x ) = x − 1. Ro zw i ą z an i e Przypomnijmy, że algorytm dzielenia wielomianów przypomina algorytm dzielenia liczb całkowitych, tj. „dzielenia pisemnego”, z tą różnicą, że w wypadku dzielenia wielomianów dzielimy najpierw składnik najwyższego stopnia w dzielnej przez składnik najwyższego stopnia w dzielniku. Otrzymany „częścio- wy” iloraz wpisujemy nad tym składnikiem dzielnej, którego użyliśmy do dzielenia, i mnożymy go przez kolejne składniki dzielnika, a tak otrzymane iloczyny, ale z przeciwnym znakiem, wpisujemy pod skład- niki tego samego stopnia w dzielnej. Następnie dodajemy „podpisany” wielomian do dzielnej i do otrzy- manej sumy „spisujemy” z góry kolejny składnik dzielnej. Teraz powtarzamy powyższe czynności, bio- rąc otrzymaną przed chwilą „uzupełnioną” sumę zamiast dzielnej. i tak aż do wyczerpania wszystkich składników dzielnej. Ostatnia otrzymana suma okazuje się wielomianem stopnia niższego niż dzielnik, a więc w tym wypadku stałą liczbą, resztą z dzielenia. Nad dzielną odczytujemy iloraz. Jeżeli ta reszta wynosi 0, to znaczy, że dzielna dzieli się przez dzielnik bez reszty. Przygotowując dzielenie, musimy uwzględnić w dzielnej składniki wszystkich kolejnych stopni, od najwyższego aż do wyrazu stałego. Jeżeli składnik któregoś stopnia nie występuje w dzielnej, to zna- czy, że współczynnik przy potędze tego stopnia jest równy 0 i należy to 0 wpisać w odpowiednim miej- scu. W poniższym rozwiązaniu te dopisane 0 zostały wytłuszczone, podobnie, jak „spisywane” kolejne składniki dzielnej. x 7 +2 x 6 +2 x 5 +0 x 4 +1 x 3 +0 x 2 +0 x 0 (1 x 8 +1 x 7 + 0 x 6 − 2 x 5 +1 x 4 − 1 x 3 + 0 x 2 + 0 x +1) : ( x − 1) − 1 x 8 +1 x 7 = 2 x 7 +0 x 6 − 2 x 7 +2 x 6 = +2 x 6 − 2 x 5 − 2 x 6 +2 x 5 = +0 x 5 +1 x 4 − 0 x 5 +0 x 4 = +1 x 4 − 1 x 3 − 1 x 4 +1 x 3 = +0 x 3 +0 x 2 − 0 x 3 +0 x 2 = +0 x 2 +0 x − 0 x 2 +0 x = +0 x +1 − 0 x +0 = 1 A zatem iloraz to wielomian x 7 + 2 x 6 +2 x 5 + x 3 , a reszta wynosi 1. Należy sprawdzić, czy wartość wielomianu dla zaznaczonej wartości jest równa zeru. Tak jak w poprzednim przykładzie. 