Vademecum matura - matematyka

Działania na wielomianach, stopień i równość wielomianu 281 Ro zw i ą z an i e i nną me t od ą Jeżeli dobrze przeanalizujemy powyższe rozwiązanie, to zauważymy, że do wykonania wszystkich wy- stępujących tam działań wystarczy znajomość współczynników dzielnej oraz liczby x 0 w dwumianie x − x 0 (dzielniku). Obserwację tę wykorzystano do opracowania tzw. algorytmu Hornera, służącego do dzielenia wielomianu przez dwumian pierwszego stopnia. Odbywa się to w tzw. tabeli Horne- ra. W pierwszym wierszu tabeli wypisujemy wszystkie kolejne stopnie niewiadomej, od najwyższego (tj. od stopnia wielomianu-dzielnej) do stopnia 0. W drugim wierszu wypisujemy, pod odpowiednim stopniem, współczynniki dzielnej. Jeżeli składnik danego stopnia nie występuje w dzielnej, to znaczy, że współczynnik przy nim wynosi 0 i to właśnie zero wpisujemy do odpowiedniego pola tabeli. na począt- ku trzeciego wiersza, na lewo od kolumny odpowiadającej współczynnikowi kierunkowemu dzielnej, wpisujemy liczbę x 0 z dzielnika, tj. dwumianu x − x 0 . W trzecim wierszu tabeli będziemy wpisywać ko- lejne współczynniki ilorazu. Ponieważ dzieląc wielomian stopnia n przez dwumian pierwszego stopnia, otrzymujemy wielomian stopnia n − 1, w kolumnie stopnia wielomianu-dzielnej wpisujemy 0. A teraz rozpoczynamy stosowanie algorytmu. Mnożymy x 0 przez liczbę ostatnio wpisaną do trzeciego wiersza, do iloczynu dodajemy stojący nad tą liczbą współczynnik dzielnej, a tak otrzymaną sumę wpisujemy do kolejnego wolnego pola trzeciego wiersza itd. na prawo od kolumny wyrazu wolnego znajduje się kolumna reszty. W tej kolumnie wpisujemy w trzecim wierszu ostatnią z sum otrzymanych w procesie stosowania algorytmu Hornera. Jeżeli wpisana liczba jest równa 0, to znaczy, że mieliśmy do czynienia z dzieleniem bez reszty, a kolejne liczby trzeciego wiersza podają kolejne współczynniki ilorazu. Jeżeli wpisana liczba jest różna od zera, to jest ona resztą z wykonanego dzielenia. Prześledźmy to na przykła- dzie z zadania. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 R x 0 1 1 0 − 2 1 − 1 0 0 1 1 0 1 2 2 0 1 0 0 0 1 A zatem iloraz to wielomian x 7 + 2 x 6 + 2 x 5 + x 3 , a reszta wynosi 1. z a d AN I E 8 Wykonaj dzielenie: a) ( x 3 + 10 x 2 + 22 x – 15) : ( x + 5) b) (28 x 3 – 41 x 2 + 63 x – 36) : (4 x – 3) RO ZW I Ą Z AN I E Ad a) x 2 + 5 x – 3 ( x 3 + 10 x 2 + 22 x – 15) : ( x + 5) – x 3 – 5 x 2 = 5 x 2 + 22 x – 15 – 5 x 2 – 25 x = – 3 x – 15 + 3 x + 15 = = Ad b) 7 x 2 – 5 x + 12 (28 x 3 – 41 x 2 + 63 x – 36) : (4 x – 3) – 28 x 3 + 21 x 2 = – 20 x 2 + 63 x – 36 20 x 2 – 15 x = 48 x – 36 – 48 x + 36 =  Dzielimy x 3 przez x , zapisujemy wy- nik x 2 i sprawdzamy nasze dziele- nie, mnożąc x 2 przez x oraz przez 5 i zapisujemy wyniki z przeciwnymi znakami. Wykonujemy odejmowanie i powtarzamy: 5 x 2 : x = 5 x 5 x ∙ x = 5 x 2 , zmieniony znak – 5 x 2 , 5 x ∙ 5 = 25 x , zmieniamy znak – 25 x , odej- mujemy itd.