Vademecum matura - matematyka

WIELOMIANY – poziom rozszerzony 282 Z a d an i e 9 Nie wykonując dzielenia, sprawdź, czy dany wielomian jest podzielny przez podany obok dwumian: a) W ( x ) = 2 x 4 − x 3 − 8 x 2 + x + 6, D ( x ) = x − 2 b) W ( x ) = 5 x 6 + 3 x 5 − 2 x 4 + 5 x 2 + 3 x − 2, D ( x ) = x + 2 Ro zw i ą z an i e Ad a) W ( )2 2 2 2 8 2 2 6 32 8 32 8 0 4 3 2 = ⋅ − − ⋅ + + = − − + = Odpowiedź: Wielomian jest podzielny przez dany dwumian. Ad b) W ( − 2) = 5 ⋅ ( − 2) 6 + 3 ⋅ ( − 2) 5 − 2 ⋅ ( − 2) 4 + 5 ⋅ ( − 2) 2 − 6 − 2 = = 320 − 96 − 32 + 20 − 8 = 204 Odpowiedź: Wielomian nie jest podzielny przez dany dwumian. z a d an i e 1 0 Nie wykonując dzielenia, wykaż, że wielomian W ( x ) = x 6 + 2 x 5 – 5 x 4 – 8 x 3 + 4 x 2 + 6 x + 12 jest po- dzielny przez dwumian V ( x ) = x + 2. RO ZW I Ą Z AN I E W ( x ) = x 6 + 2 x 5 – 5 x 4 – 8 x 3 + 4 x 2 + 6 x + 12 V ( x ) = x + 2 W (–2) = (–2) 6 + 2(–2) 5 – 5 ∙ (–2) 4 – 8 ∙ (–2) 3 + 4 ∙ (–2) 2 + 6 ∙ (–2) + 12 = = 64 – 2 ∙ 32 – 5 ∙ 16 + 8 ∙ 8 + 4 ∙ 4 – 12 + 12 = – 80 + 64 + 16 = 0 Odpowiedź: Wielomian W ( x ) jest podzielny przez V ( x ). Z a d an i e 1 1 Znajdź wartość współczynnika b , wiedząc, że wielomian W ( x ) = 2 x 2 − x − 6 jest podzielny przez dwumian D ( x ) = x − b . Ro zw i ą z an i e 2 6 0 1 4 2 6 49 7 1 7 4 3 2 8 4 2 2 1 2 ⋅ − − = = + ⋅ ⋅ = = = − = − = = b b b b ∆ ∆ , , , Odpowiedź: b ∈ −      3 2 2, .  Obliczamy wartość wielomianu w miejscu zerowym dwumianu. Tak jak w poprzednim przykładzie.  Wielomian W ( x ) jest podzielny przez x + 2, gdy W (– 2) = 0.  Wartość wielomianu w miejscu zero- wym dwumianu musi być równa zeru.