Vademecum matura - matematyka

Rozkład wielomianu na czynniki 283 Rozkład wielomianu na czynniki Użyteczne wzory i informacje Rozkładając wielomian na czynniki, korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia oraz wyłącze- nia wspólnego czynnika przed nawias oraz wymiernych pierwiastków wielomianu o współczyn- nikach całkowitych. Każdy wielomian stopnia wyższego niż dwa można przedstawić w postaci iloczynu czynników, które są wielomianami stopnia co najmniej drugiego. Powtarzający się czynnik zapisujemy za pomocą potęgi, na przykład zamiast x ∙ x ∙ x piszemy x 3 . We wzorach skróconego mnożenia a 3 – b 3 = ( a – b )( a 2 + ab + b 2 ) oraz a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) czynniki a 2 + ab + b 2  i  a 2 – ab + b 2 są zawsze dodatnie, więc nie można ich rozłożyć na czynniki liniowe. Wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych. Jeżeli współczynniki wielomianu są całkowite, a metoda wyłączania czynnika przed nawias lub za- stosowanie wzorów skróconego mnożenia jest niemożliwa, korzystamy z twierdzeń mówiących, że: – jeśli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu, lub – jeśli ułamek nieskracalny p q jest pierwiastkiem wielomianu, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem a n – współczynnika przy najwyższej potędze x . Z A D AN I E 1 Rozłóż wielomiany na czynniki: a) W x x x x ( ) = − − + 8 6 2 5 4 3 b) W x x x x ( ) = − − + 3 2 1 c) W x x x x ( ) = − + − + 4 3 2 8 16 d) W x x x ( ) = − + 3 13 12 RO ZW I Ą Z AN I E Ad a) W x x x x x x x ( ) ( ) = − − + = − + − 8 6 2 2 4 3 1 5 4 3 3 2 4 3 1 2 x x + − – trójmian kwadratowy a = 4, b = 3, c = –1 ∆ = − = − ⋅ ⋅ − = + = b ac 2 2 4 3 4 4 1 9 16 25 ( ) ∆ = 5 x b a 1 2 = − − ∆ x b a 2 2 = − + ∆ x 1 3 5 2 4 8 8 1 = − − ⋅ = − = − x 2 3 5 2 4 2 8 1 4 = − + ⋅ = = Trójmian kwadratowy 4 x 2 + 3 x – 1 zapisujemy w postaci iloczynowej a x x x x x x ( : ( ) . )( ) − − + −       1 2 4 1 1 4 W x x x x x x x ( ) ( ) ) ( = − ⋅ + −       = − + −       2 4 1 1 4 8 1 1 4 3 3 – wielomian został rozłożony na czynniki. BYŁO NA MATURZE 2018 