Vademecum matura - matematyka

GEOMETRIA ANALITYCZNA – poziom rozszerzony 384 Jednokładność w układzie współrzędnych Użyteczne wzory i informacje W jednokładności i środku w początku układu współrzędnych i skali s różnej od zera każdy punkt A = ( x , y ) jest przekształcony na punkt A ’ = ( sx , sy ). Jednokładność względem punktu – jednokładność o środku w punkcie O i skali s ≠ 0 przekształca punkt A na punkt A’ taki, że OA’ = s ∙ OA , a więc, jeśli O = ( x 0 , y 0 ), to jednokładność ta przekształca punkt A = ( x , y ) na punkt A = ( sx + (1 – s ) ∙ x 0 , sy + (1 – s ) ∙ y 0 ) z a d an i e 1 Wyznacz obrazy punktów A = (3, 0), B = (0, 2), C = (– 2, 2) i D = (3, –1) w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali − 2 3 . RO ZW I Ą Z AN I E A = (3, 0) ′ = − −       = − ( ) A 2 3 3 2 3 0 2 0 ⋅ ⋅ , , B = (0, 2) ′ = − −       = −       B 2 3 0 2 3 2 0 4 3 ⋅ ⋅ , , C = (–2, 2) ′ = − − ( ) −       = −       C 2 3 2 2 3 2 4 3 4 3 ⋅ ⋅ , , D = (3, –1) ′ = − − −       = −      D 2 3 2 3 1 2 2 3 ⋅3, ⋅ ( ) , z a d an i e 2 Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty: A = (–4, –2), B = (–1, 1), C = (–2, 3). Narysuj obraz tego trójkąta w jednokładności o środku w punkcie 0 = (0, 0) i skali − 3 2 . Oblicz pola obu trójkątów. RO ZW I Ą Z AN I E A = (–4, –2) ′ = − − ( ) − − ( )       = A 3 2 4 3 2 2 6 3 ⋅ ⋅ , ( , ) B = (–1, 1) ′ = − − ( ) −       = −       =       B 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 1 2 1 1 2 ⋅ ⋅ , , , C = (–2, 3) ′ − − ( ) −       = −       = −       = C 3 2 2 3 2 3 3 9 2 3 4 1 2 ⋅ ⋅ , , , P x x y y y y x x ABC B A C A B A C A  = − ( ) − ( ) − − ( ) − ( ) = 1 2 = − + ( ) + ( ) − + ( ) − + ( ) = − = − = = = 1 2 1 4 3 2 1 2 2 4 1 2 3 5 3 2 1 2 15 6 1 2 9 1 9 2 4 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ P P ’ ’ ’   ABC ABC s = = −      = = = 2 2 3 2 9 2 9 4 9 2 81 4 20 1 4 ⋅ ⋅ ⋅  