Vademecum matura - matematyka

LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE – POZIOM PODSTAWOWY 26 DZIAŁANIA NA POTĘGACH I PIERWIASTKACH UŻYTECZNE WZORY I INFORMACJE Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n -tą potęgę: a n = a ∙ … ∙ a n razy Pierwiastkiem arytmetycznym a n stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką, że b n = a . W szczególności dla dowolnej liczby a zachodzi równość a a 2 = | | . Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to a n oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. Niech m , n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: – dla a ≠ 0: a a n n − = 1 oraz a 0 = 1 – dla a ≥ 0: a a m n mn = – dla a > 0: a a m n mn − = 1 Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0, to zachodzą równości: a r ∙ a s = a r + s (a r ) s = a r ∙ s a a a r s r s = − (a b ) r = a r ∙ b r a b a b r r r       = Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0. Powyższe informacje znajdują się we wzorach maturalnych. Właności potęg stosowane są bardzo często w działaniach na pierwiastkach: a b ab n n n ⋅ = a b a b n n n : : = a a mn n m = ( ) Z A D AN I E 1 Wykonaj działania i przedstaw wynik w najprostszej postaci: a) 2 2 2 3 5 − ⋅ b) ( )2 3 3 4 c) 16 3 3 2 4 0 5 0 − − ⋅ , d) ( , ) ( ) 0 125 2 1 4 2 1 3 − − RO ZW I Ą Z AN I E Zawsze należy starać się przedstawić wszystkie potęgi w postaci potęgi o tej samej, jak najmniejszej podstawie (zwykle jest to liczba pierwsza, np. 2, 3, 5 itd.). Następnie stosujemy wzory dotyczące działań na potęgach. Ad a) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 128 3 5 2 5 2 5 7 7 7 − − − − − ⋅ = = = = =       = BYŁO NA MATURZE 2017 BYŁO NA MATURZE 2018 BYŁO NA MATURZE 2019  Pewniak na teście